polinomial

shaqina martatiana

• Pengerti polinomial
polinomial adalah suku banyak yang memiliki variabel, konstanta, pangkat bilangan cacah, operasi bilangan dan koefisien.

• Operasi Polinomial :

1. Penjumlahan
2. Pengurangan
3. Perkalian

Contoh:

Diketahui suku banyak f(x) dan g(x) sebagai berikut

F(x) = 2x³+2x²+2x+5

G(x) = 2x³-2x²-12

Tentukan ; a. f(x) + g(x)

                      b. f(x) – g(x)

                      c. f(x) . g(x)                       

jawaban :

a.       F(x) + g(x) = (2x³+2x²+2x+5) + (2x³-2x²-12)

    = 2x³+3x²+2x+5+2x³-2x²-12

    = 2x³+2x³+3x²-2x²+2x+5-12

    = 4x³+x²+2x-7

b.      F(x) – g(x) = (2x³+3x²+2x+5) – (2x³-2x²-12)

    = 2x³+3x²+2x+5-2x³+2x²+12

   = 2x³-2x³+3x²+2x³+2x+5+12

   = x³+5x²+2x+17

c.       F(x) . g(x) = (2x³+3x²+2x+5) . (2x³-2x²-12)

    = 4x⁶-4x⁵-24x³+6x⁵-6x⁴-36x²+4x⁴-4x³-24x+10x³-10x²-60

    = 4x⁶-4x⁵+6x⁵-6x⁴+4x⁴-24x³-4x³+10x³-36x²-10x²-24x-60

    = 4x⁶+2x⁵-2x⁴-18x³-46x²-24x-60

Menentukan Nilai Polinomial

untuk menentukan nilai polinomial kita dapat menggunakan cara :
1. Substitusi

2. Teorema Horner

Contoh: f(x) = 2x⁵+3x³-20x²+5x-100 

                        X = 2

#Cara Substitusi

Kita dapat mensubstitusi nilai x menjadi 2.

f(x) = 2x⁵+3x³-20x²+5x-100

f(2) = 2(2)5 + 3(2)3 – 20(2)2 +5(2) – 100

        = 64 + 24 – 80 + 100

       = -82

Untuk membuktikan apakah benar atau salah jawaban kita. Kita, dapat melihatnya dari hasil cara kedua. Apakah sama atau tidak jawabannya. Mari kita buktikan

# Contoh Cara Penyelesaian Teorema Horner

 

f(x) = 2x⁵+3x³-20x²+5x-100

ALGORITMA PEMBAGIAN

Pembagian nilai polynomial dapat dilakukan dengan cara bersusun.

Contoh : f(x) = 5x³ + 2x² + 5

               g(x) = x – 2

               f(x) : g(x) ?

pembahasan:

        

              

Secara umum dapat dituliskan :

f(x) = p(x) h(x) + s(x)

keterangan:

p(x) : pembagi

h(x) : hasil bagi

s(x) : sisa pembagian

Dapat kita buktikan:

f(x) = p(x) h(x) + s(x)

5x³ + 2x² + 5 =  (x – 2).(5x² + 12x + 24)+(53)

=  (x – 2).(5x² + 12x + 24)+(53)

= 5x³+12x²+24x-10-24x-48+53

= 5x³+12x²-10x²+24x-24x-48-53

=5x³+2x²+5                                          terbukti

TEOREMA SISA

TEOREMA SISA 1

Jika suku banyak f(x) : x-k maka sisanya adalah f(k). 
contoh soal, fx)= x⁴ + 3x³ – 2x² + x ­– 5 ; x-2

tentukan sisa pembaginya!
cara bersusun: 

Cara horner:

    

substitusi:

f(x)= x⁴ + 3x³ – 2x² + x ­– 5

f(2)= 2⁴ + 3(2)³ – 2(2)² + 2 ­– 5

      = 16 + 24 – 8 -3

      = 29

TEOREMA SISA 2

Jika f(x) : ax – b, maka akan bersisa f(b/a)

Contoh soal:
F(x) = x⁴ + 3x³ – 2x² + x   : 2x - 1

jawaban :

Cara horner:

kita buktikan dengan menggunakan cara berikut:

f(x)= X⁴ + 3x³ – 2x² + x

f(1/2)= 1/2⁴ + 3(1/2)³ – 2(1/2)² + 1/2

          = 1/16 + 3/8 – 1/2 + 1/2

          = 1 + 6 – 8 + 8

                   16

          = 7/16

TEOREMA SISA 3

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x-2)(x-b) maka sisanya adalah p(x) + q dinama f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q

Contoh soal:

F(x)  = x³ – 2x² + 3x -1                          ; x² + x -2

Tentukanlah sisa pembagian!             (x-1)(x+2)

Sisa = p(x) + q

*f(1)= pa + q

 F(1)= px + q

 F(1)= p(1) + q

 F(1)= p + q …………… (1)

*f(-2)= pb + q

 F(-2)= px + q

 F(-2)= p(-2) +q

 F(-2)= -2p + q ……………(2)

F(1)= x³ – 2x² + 3x -1                                                   f(-2)= x³ – 2x² + 3x -1

       = 1³ – 2(1)² + 3(1) -1                                                     = (-2)³ – 2(-2)² + 3(-2) -1

       = 1 -2 + 3 – 1                                                                 = -8 -8 -6 -1

       = 1                                                                                  = -23

Gunakan metode eliminasi :

P + q = 1

-2p + q = -23     -

3p         = 24

P           = 8

Metode eliminasi:

P + q = 1

8 + q = 1

Q       = 1-8

Q       = -7

*sisa pembagi = px + q = 8x -7

Pembuktian

          

TEOREMA FAKTOR

Untuk setiap algoritma atau suku banyak itu akan sama dengan pembagi dikali hasil ditambah sisa.

Contoh: x² – 3x – 10                = (x-5)(x+2)

  

TERIMAKASIH ☺